Сучасне розуміння математики
Під математикою ми розумітимемо теоретичну науку про форми й відносини, які взяті у відволіканні від змісту. Оскільки ми абстрагуємося від змісту і розглядаємо не якісь конкретні емпіричні явища, а тільки чисті форми, це наука теоретична, а не емпірична. Емпіричні науки це ті, які вивчають усе, що нам дано у досвіді за допомогою спостереження, виміру, експерименту. Це той досвід, який опосередкований нашими органами відчуттів, може добуватись також за допомогою приладів та експериментів. До емпіричних наук відносяться біологія, хімія, фізика, хоча можна окремо говорити й про теоретичну фізику.
До теоретичних наук відносяться ті, які вивчають тільки те, що дано в межах розуму, тобто є умосяжним. Це математика та логіка. Логіка дуже близька до математики, тому що вона теж про форми й відносини, які взяті у відволіканні від змісту. Оскільки ці науки близькі, була спроба вивести математику з логіки. Спочатку створили логіку, потім теорію множин, яка підпорядковується законам логіки, а вже на підставі теорії множин спробували обґрунтувати математику.
Виникає питання. Адже філософія теж теоретична дисципліна. Тоді до чого ближче математика, до філософії або до емпіричних наук? Попри що і філософія, і математика, і логіка є теоретичними дисциплінами, філософія – це особливий вид знання, а математика – це одна з наук, як і логіка. І ось чому. Особливість філософії полягає в тому, що вона розкриває такі сенси та цінності, які не дають приросту емпіричного знання. Науки навпаки мають таки методи обробки масивів емпіричної інформації, які призводять до нової інформації про емпіричну дійсність. Методи філософії призначені не для обробки емпіричних даних, а лише для їх осмислення у співвідносні з людиною та з її пізнавальною здатністю. Філософія надає такий широкий контекст розуміння наукового знання, в якому це знання співвідноситися з особистістю, з культурою, з пізнавальними здібностями людини.
Хоч математика не вивчає емпіричні явища, проте її методи використовуються для обробки емпіричної інформації. Природні науки можуть користуватися математичними методами, математичною мовою та поняттями для обробки емпіричної інформації, хоча сама математика абстрагована від емпіричного. Наприклад, математика не вивчає слонів, але математику можна використовувати при науковому вивченні слонів, тобто для того, щоб отримати нові наукові знання шляхом обробки емпіричної інформації.
Для таких цілей філософські поняття не придатні, вони використовуються для осмислення емпіричної інформації з позиції ціннісного ставлення людини до світу і до самої себе. Вони дозволяють зрозуміти місце наукового знання у житті, але не дозволяють отримати жодного додаткового знання всередині науки. А математика дозволяє. Саме з цієї причини я розглядаю математику як науку, хоч і теоретичну, яка відрізняється від емпіричних наук, а філософію розглядаю як дисципліну, яка існує паралельно до науки.
Проте математика відрізняється від емпіричних наук. Будь-яка емпірична наука вивчає не самі собою об'єкти, які реально існують, а деякі ідеальні об'єкти, що виділяються методом абстрагування та ідеалізації. Тому емпірична наука описує емпіричну реальність як абстрактну модель. Наприклад, ми описуємо не реальне яблуко, яке падає на землю, а модель того, як яблуко як ідеальний об'єкт притягується до Землі як ідеального об'єкта за законом всесвітнього тяжіння.
Поняття виділяються за певною ознакою. Наприклад, поняття «фізичне тіло» виділяється на основі якоїсь фізичної ознаки, яка є загальною для всього, що ми можемо назвати тілом. Ми абстрагуємося від того, чи це яблуко, земля, людина, для нас важливо, що всі вони мають ту ознаку, яка дозволяє застосувати поняття «фізичне тіло». Так з будь-яким поняттям – енергія, поле – ми завжди виділяємо певну ознаку. Поняття – це клас предметів, виділених за якоюсь ознакою. Тобто, це абстракція, ідеальний об'єкт. Наука вже оперує абстракціями, абстрактними поняттями, які систематизують реальний емпіричний досвід, який ми отримуємо.
Що ж до математики, це другий рівень абстракції, який відволікається від тих абстрактних понять, які вже виділені у науці. Математика не вивчає фізичне тіло. Вона вивчає відносини між різними множинами, які включають елементи, і неважливо, які це предмети. Допустимо, ми виділяємо число п'ять. З погляду математики 5 – це властивість множини, що включає п'ять елементів чого завгодно: слонів, зірок, ложок тощо. В емпіричних науках ми виділили предмети з якоїсь ознаки, тобто виділили абстракцію першого порядку. А тут ми виділяємо ознаку множин і абстрагуємося вже від самих предметів, тобто виділяємо абстракцію другого порядку.
Спочатку фізика або біологія відволікається від самих реальних речей і виділяє ідеальні об'єкти, потім ці ідеальні об'єкти ми об'єднуємо в множини – по три, по п'ять, по сім – і вже на другому рівні абстрагування відволікаємося від того, які саме ідеальні об'єкти входять до множини. Математика виділяє властивість не предмета, а множини, що є число. Тобто число не може бути властивістю самого предмета, це властивість множини.
На першому рівні абстракції ми маємо наукові поняття. Наприклад, поняття «ссавці». У це поняття входять усі тварини, які мають певну ознаку – живити своє потомство молоком. Або поняття «земноводні», «птахи». Всі ці поняття ми використовуємо для вивчення всіх цих явищ і можемо розбити їх на множини. Тобто, класи множин, куди входять по 3, 5 або 7 предметів.
На другому рівні абстракції нас уже не цікавлять усі ці предмети навіть як ідеальні об'єкти науки. Нас цікавлять самі множини. Є множини всіх предметів по 4, всіх предметів по 3, всіх предметів по 5. І ми виділяємо властивість цієї множини як число, і це число не належать до самих елементів множини. Якщо ми беремо всіх олівців по п'ять, то властивість «п'ять» буде належати до множини, а не до олівця. Олівець не може бути п'ятіркою, він завжди один. На цьому другому рівні абстракції ми вже не звертаємо уваги до емпіричного явища, нас цікавлять числові відносини між множинами. Так виникає суто теоретична наука – арифметика, яка оперує числовими відносинами між множинами.
Можемо піднятися ще на один рівень абстракції, тобто перейти до алгебри. На цьому рівні ми відволікаємось вже від самих чисел і замінюємо їх змінними – x, y, z тощо. Нас уже не цікавить конкретне число, ми оперуємо змінною, яка є властивістю тих чисел, які можуть опинитися на її місці. Це третій рівень абстракції. Математика відкриває й інші вищі рівні абстракції.
Так, ми можемо уявити абстрагування в науці у вигляді багатоповерхового будинку. Фундамент, тобто перший рівень абстракції – це емпіричні науки, другий поверх – математика як арифметика, третій рівень абстракції – це математика як алгебра. Оскільки математика розвивається далі, ці поверхи можна надбудовувати ще вище. Але всі ці абстракції мають фундамент. Вони абстраговані від першого, базового матеріалу, що стоїть на землі – нашого емпіричного досвіду, однак дозволяють його систематизувати. Ми можемо використовувати всі математичні абстракції, щоб упорядкувати наш емпіричний досвід. Тому всі науки, навіть емпіричні, можуть і повинні скористатися математичною мовою. Тому математика стала мовою науки.
Філософія оперує абстракціями зовсім іншого роду. У філософії ми надаємо широкий контекст розуміння, який дозволяє співвіднести з особистим життєвим досвідом і наукове знання, і мистецтво, і релігію. Якщо наукові поняття виділяються на основі певної властивості предмета, то філософські поняття поєднують різнорідні властивості в цьому широкому контексті розуміння. Завдяки цьому філософські поняття можна співвіднести з будь-якими властивостями предмета, а наукові – тільки з тими властивостями, які включаються до предметної галузі конкретної науки. Проте філософські поняття ми не можемо використовувати для розв'язання суто наукових завдань, а математичні можемо.
Хоча математика і є теоретичною дисципліною, як і філософія, проте вона входить у систему наукового знання, а філософія залишається особливою дисципліною, тому що призначена не на те, щоб обробляти масиви емпіричних даних, а на те, щоб переосмислювати будь-які знання з позиції особистості. Математика, навпаки, дозволяє обробляти масиви емпіричних даних і прирощувати таким шляхом знання про емпіричний світ.
Антична математика
Але так було не завжди. Математика виникає у всіх давніх культурах, проте в античності вона мала філософське обґрунтування, яке принципово відрізняється від того, як обґрунтовуємо математику ми. Ба більше, в античності математика ще не відокремилася від філософії, і самі математичні поняття використовувалися як філософські. Я покажу це на прикладі піфагорійської школи.
Антична наука відрізняється від сучасної тим, що у ній умоглядні уявлення мають таку силу доказовості, як емпіричні підтвердження для сучасної науки. Сучасний учений не може стверджувати щось як справжнє на підставі власних умоглядних уявлень, він має підтвердити свої думки спостереженням, виміром або експериментом. В античності, навпаки, вимагалося, щоб він навів свої думки у відповідність до умоглядних уявлень про те, як світ побудований загалом.
Піфагорійська математика
Математика також виникає як частина філософії. Починається це з Піфагора, який вперше відкрив ідеальну сферу. Він показав, що наш матеріальний світ структурується ідеальними поняттями. Точніше, математичними поняттями.
У Стародавній Греції була така релігія – орфізм, і Піфагор, власне, став релігійним реформатором. Орфізм вчив про переселення душ, про те, що душа після смерті народжується в новому тілі як людина або як тварина, і Піфагор погоджується з цією концепцією. Якщо душа може існувати сама по собі незалежно від тіла, значить і умосяжні об'єкти – числа, теж можуть існувати самі собою незалежно від матерії. Ба більше, як душа може втілюватися в тілі й жити в ньому, так і числа можуть втілюватися в речах і бути їхньою основою.
Тому Піфагор стверджував, що саме числа є основою всіх речей. Для сучасної людини числа – це абстракції, які існують лише у свідомості. Як вони можуть бути основою реальних речей? Вони лише спосіб осмислення реальних речей. Однак Піфагор у буквальному сенсі вважав, що числа і є основи речей у такому ж значенні як душа полягає в основі тіла. У його розумінні душа є в тілі, при цьому вона реальна сама собою. Так і числа реальні самі собою й впорядковують весь світ.
Спробуємо уявити, як це можливо. Особливістю античного мислення була наочність і конкретність. В уявленні античних людей не було жодних абстракцій. Тобто, ми цілком можемо вводити абстрактні поняття, а для них це було неприйнятно. Все, що не можна уявити наочно, не існує. Тому деякі математичні поняття, які для нас само собою зрозумілі, для них були б безглуздям.
Наприклад, ми можемо уявити ірраціональне число. Це такий нескінченний дріб, який не можна записати повністю. Скільки б ми його ні записували, ніколи не запишемо до кінця. Наочно ми представляємо дріб як співвідношення двох чисел, але ірраціональний дріб неможливо так наочно уявити, проте в математиці ми такими числами оперуємо. Приклад ірраціонального числа – число π, або квадратний корінь з двох. З цієї ж причини піфагорійці не могли б уявити нескінченно малу величину, число, що прагне до нуля або комплексне число, тому в античності не могло виникнути диференціального обчислення.
Піфагорійці були впевнені, що всі числа мають бути конкретними, наочними, а ірраціональні числа не такі. Коли вони взяли рівносторонній прямокутний трикутник, де за одиницю взяли довжину катета, то виявили, що згідно з теоремою Піфагора виходить, що гіпотенуза дорівнює кореню з двох. Однак корінь із двох – це ірраціональне число, не існує такого співвідношення між числами, якому воно відповідало б. Неможливо взяти якесь число, поділити на інше й отримати корінь із двох. Піфагорійці з жахом прийшли до висновку, що ця довжина гіпотенузи не має числового виразу. Тобто вони зіткнулися з тим, що не вкладається в їхню картину світу. Це також, ніби сучасні вчені раптом побачили привид чи кентавра.
Космос античності був дуже конкретним, наочним, уявним, хоч і великим, але не нескінченним, щоб бути доступним для огляду розумом. При всій своїй величезності, він повинен був підкорятися розумному початку. Для піфагорійців розумним початком був математичний порядок. Якщо ми візьмемо будь-яку річ – стіл, стілець, будинок, яблуко, людину – вона має певність. Ми бачимо їх наочно і конкретно, тому що вони є певними, і це дозволяє їх відрізняти один від одного. А певність це їхня пропорційність, упорядкованість. Пропорційність визначає числова гармонія.
У піфагорійському розумінні все, що існує, визначається числовим співвідношенням. Якщо не буде числових співвідношень, всі речі будуть хаотичними, втратять певну форму. Тому весь космос також підпорядкований гармонії чисел. Самі ці числа теж треба осмислити, як щось конкретне та наочне. Оскільки античні греки не зазнавали жодних абстракцій, то піфагорійці вважали, що всі числа можна уявити собі зорове. Для цього є геометрія. Тому геометрія є основа арифметики. Все, що існує, ми можемо виразити геометрично, тобто перевести в наочну зорову форму.
Ця інтуїція античної культури була пов’язана з античним розумінням тіла. Все, що існує у світі, має бути тілесним, як вважалося в античності. Це ставлення до тіла виражалося й у мистецтві, й у філософії. Тіло має свою пропорційність і відображає гармонію, яку, як вважають піфагорійці, можна висловити за допомогою математики. Тому математика теж має бути наочною і конкретною. Подібно до того, як ми наочно можемо уявити будь-яке тіло, також і будь-який дріб можемо геометрично наочно уявити як, наприклад, співвідношення сторін фігури.
Ба більше, піфагорійці виявили, що математику можна наочно виразити не тільки для зору, а й для слуху. Якщо ми натягуємо струни у певному відношенні, наприклад, 1 до 2, 3 до 4 або 4 до 3 і послідовно програємо їх, то у нас виникає музичний лад. Те, що обмежено двома звуками різної висоти, визначеної ступенем натягу струни, утворює інтервал – октаву (1:2), квінту (2:3), кварту (3:4). Співвідношення між квінтою та квартою складає музичний лад. Таким чином через ці дроби можна показати математику музики. Будь-яке музичне звучання можна розкласти на числові відносини, а самі назви «кварта», «квінта», «октава» – це математичні поняття. Вони утворені від назви чисел. Відповідно до цього піфагорійці описували закономірності року, сезону, днів і місяців, інкубаційні періоди дозрівання зародків, цикли біологічного розвитку тощо.
З цього випливає, що гармонія, яку ми чуємо, підкоряється математиці, яка впорядковує весь космос. Отже, весь космос має бути підпорядкований музичній гармонії. А якщо це так, то має існувати музика сфер, яка все наповнює. Піфагорійці переклали астрономію на мову музики й показали, що рух планет навколо Землі виражається в музичній гармонії.
До розуміння, що Земля куляста, піфагорійці прийшли умоглядно. Вони вважали, що куля – найбільш досконала геометрична фігура, тому помістили її в центр світобудови. Оскільки все прагне до центру, це прагнення створює обертання навколо Землі. Всі речі й тіла за інерцією рухаються вперед, але цей рух стає круговим оскільки простір викривляється навколо центру. Відстань між рухами різних планет втілюється у музичному звучанні.
Треба сказати, що піфагорійська математика була на високому рівні, тому піфагорійці досить точно вирахували розміри Землі та співвідношення між рухами планет. Для їхнього часу це були великі відкриття. Але вони пояснювали рухи планет відповідно до умоглядних уявлень про космос як світову гармонію, яку конкретно і наочно можна уявити. Тому коли вони відкрили ірраціональне число, це призвело до кризи їхньої математики. Весь космос підпорядкований світової гармонії, тому не повинно бути жодної речі, яка не мала б числового виразу. А тут виявляється, що можна намалювати трикутник, гіпотенуза якого не має числового виразу ні у вигляді цілого числа, ні у вигляді дробу.
У картині світу піфагорійців числа існують самі собою незалежно від свідомості людини й відкриваються для розумового погляду як конкретні й наочні смисли. А ірраціональне число неможливо уявити як щось конкретне. Тут вони стикаються з тим, що не вкладається в їхню картину світу. Відкриття ірраціонального числа викликало першу кризу математики. Після епохи Відродження з настанням Нового часу культурна картина світу змінюється так, що неможливе з погляду античної чи середньовічної людини стало сприйматися як очевидне, і навпаки. Це призвело до відкриття нових видів математики, які неможливо уявити наочно, як, наприклад, комплексне число, квадрат якого дає не позитивне, а негативне число. Виникло диференціальне обчислення, що оперує такими нескінченно малими величинами, які менші за будь-яке число, що тільки можна уявити. Однак у минулому столітті Бертран Рассел відкрив у основі математики такі парадокси, які суперечили сучасним уявленням про наукову точність і несуперечливість. Це знову призвело до кризи математики, як і за часів Піфагора, оскільки вчені знову зіткнулися з тим, що не вкладалося в їхню картину світу.
Отже, філософські основи піфагореїзму полягають у тому, що математика сприймається як частина філософії. Вона ще не виділяється у самостійну науку, це станеться набагато пізніше.
Які основи має нумерологія?
Чи можна ворожити за числами? Наприклад, якщо взяти числа дати народження, кількості букв імені та інше, чи можна шляхом маніпуляцій із цими числами обчислити чи передбачити долю? Зараз це досить поширена захопленість, яка з позиції сучасної науки вважається антинауковим забобоном. Але чи буде це так, якщо подивитися на нумерологію з позиції стародавньої математики?
Є така галузь знання – нумерологія, яка наділяє числа особливими, не математичними властивостями, завдяки яким стає можливим ворожіння за допомогою чисел. У нумерології числа мають не тільки суто математичний сенс, а якийсь ще, який відкриває якісь таємниці Всесвіту та душі людини. Пророцтво майбутнього – лише одна з можливостей нумерології. З погляду сучасної науки нумерологія є псевдонаукою, бо числа — це абстракції, які не можуть містити жодного іншого сенсу крім математичного.
Однак з позиції античної математики нумерологія цілком наукова, і прихований зміст чисел дійсно дозволяє зрозуміти світ, людину та її долю. Це переконання зовсім не говорить, що античні люди мало знали або були наївними, і ґрунтується на іншому розумінні сутності числа. Зокрема, піфагорійці оперували числами не тільки як математичними, а як філософськими поняттями, використовували їх для осмислення будь-яких явищ, а не тільки математичних співвідношень. Вони вважали, що числа – це початки речей у буквальному сенсі. Космос – це гармонія чисел, які є реальними силами, що діють усюди. Це означає, що числа подібно до філософських понять співвідносяться не тільки з математичними властивостями, а і з будь-якими іншими, які за межами предметної області математики.
У сучасній математиці числа розуміються суто математично як абстракції, тобто вони абстраговані від будь-яких нематематичних сутностей та властивостей. Нумерологія, навпаки, наділяє числа новими нематематичними властивостями, що з позиції сучасної математики абсурдно, а з позиції античної математики – виправдано.
Відмінність наукових понять від філософських
Щоб зрозуміти різницю між античною і сучасною математикою потрібно знати, чим філософські поняття відрізняються від наукових понять. Саме ця відмінність дозволить пояснити, чому в античній культурі за допомогою чисел можна передбачати долю, розкривати таємний зміст світобудови, а сучасна математика виключає таку можливість.
У сучасній науці поняття виділяються за допомогою абстрагування. Ми абстрагуємось від самого предмета і від усіх його властивостей, які за межами предметної області цієї науки, співвідносимо поняття тільки з тою властивістю, яка включена в цю предметну область, і перетворюємо його на ідеальний об'єкт. Тобто спочатку проводимо абстрагування, а потім ідеалізацію – наділяємо предмет ідеальними властивостями й розглядаємо його в ідеальних умовах.
Наприклад, щоб виділити біологічне поняття людини, ми повинні абстрагуватися від усіх властивостей, які за межами предметної області біології, – від її краси, розуму, соціальної ролі, професії, авторитету та від самої її сутності як людини. Тобто ми орієнтуємось лише на її біологічні властивості, які розглядаємо в ідеальних умовах, ніби існує лише біологічний об'єкт і нічого більше. Біологічна людина – це конструкція наукового розуму, ідеальний предмет в ідеальних умовах. У результаті абстрагування та ідеалізації ми отримуємо біологічне поняття людини й можемо її використовувати для опису біологічних закономірностей.
У соціології людина досліджується як зовсім інший предмет, тому що тут ми абстрагуємося вже від біологічних властивостей та виділяємо лише соціальні. Людина як ідеальний об'єкт соціології ототожнюється із соціальною роллю. Так само фізика, психологія чи правознавство конструюють свій ідеальний об'єкт людини, але жодна з наук не вивчає людину за своєю сутністю.
У філософії ж нас цікавить людина сама собою, і філософське поняття співвідноситься з її сутністю, а не з ідеальним об'єктом. Сутність людини – це те, що у ній найголовніше, що робить її людиною. Сутність – це те, що поєднує всі властивості та якості в єдину річ, явище або подію, і осягаючи сутність як сенс, ми можемо осмислити будь-яку властивість у співвіднесеності з цим сенсом. З позиції сутності ми можемо говорити не тільки про біологічні чи соціальні властивості людини, а взагалі про будь-які. Тобто у філософії ми не абстрагуємося від властивостей, як у науці, а навпаки, знаходимо їхній сутнісний сенс, з яким співвідносимо філософське поняття.
У науці математичне поняття є абстракція. Число – це властивість не предмета, а множини. Наприклад, є множина з 3 елементів, з 5 елементів, з 4 елементів, але немає жодного предмета, який має властивості бути 3, 4, 5 тощо. Спочатку ми абстрагуємося від предметів і виділяємо множини, потім абстрагуємося від множин і виділяємо тільки одну їхню властивість – бути по п'ять, бути по чотири, бути по три тощо. Все, що не належать до властивостей множин, ми відкидаємо, тому сучасна математика не розглядає предмети, які вона дозволяє обчислювати.
Однак Піфагор використав математичні поняття саме як філософські. Він вважав, що число має власну сутність і реально існує незалежно від свідомості людини. Ми не вигадуємо в умі числа, а бачимо розумом те, що є насправді. Числа – це не абстракції, а конкретні, наочні для розуму речі. Відмінність із тілесними речами лише тому, що числа осягаються не органами почуттів, а умоглядом. Однак вони реальні й утворюють свій світ чисел.
Сутність числа в античному розумінні може співвідноситися не лише з математичними властивостями, а й з властивостями людини й світобудови. У цьому специфіка саме філософського поняття, яке може співвідноситися з будь-якими властивостями предмета, тоді як наукове – лише властивостями, які належать до предметної області цієї науки. Якщо числа з погляду Піфагора співвідносяться з будь-якими властивостями, тоді за допомогою числових співвідношень ми можемо розгадувати загадки природи, таємниці космосу, долі, містичних і релігійних прозрінь. Це є завданням нумерології.
Нумерологія можлива лише якщо розуміти число у широкому філософському сенсі як сутність, а не як абстракцію. Якщо розуміти числа лише в математичному сенсі, тоді доведеться визнати нумерологію псевдонаукою.
Зв'язок математики з культурою
З переходом до епохи Нового часу починається наукова революція, внаслідок якої виникла сучасна наука. З нею пов'язують виникнення геліоцентричної концепції, але це лише її окремий момент. Головним стало те, що наука набула експериментального характеру; були чітко розмежовані предметні області науки; поняття стали співвідноситися лише з тим, що входить у предметну область конкретної науки; всі умоглядні узагальнення винесені за межі науки.
Тепер ми не можемо стверджувати що-небудь у науці на підставі умоглядних міркувань. Це вважатиметься довільним узагальненням. Проте в античній та середньовічній науці це було нормою. Тому сучасне розуміння математики також починає формуватися з Нового часу, що вимагатиме виключення нумерології з системи наук.
Так, математика тісно пов'язана з картиною світу і з культурою. Антична людина все представляла наочно і безпосередньо, у всьому бачила втілення загальної гармонії та світового розуму, а піфагорійці вважали, що в основі цієї світової гармонії лежить математика. Тому математика повинна допомагати умоглядно осягати гармонію космосу. Однак з позиції сучасної науки світ це об'єкт для аналізу. Пояснити щось означає показати структуру та співвідношення елементів, абстрагуючись від решти. Тому математика перетворилася на абстрактну мову, яка описує лише певні співвідношення.
Якщо математика так тісно пов'язана з культурою, то в інших культурах має формуватись своя своєрідна математика. Наприклад, у традиційній культурі Китаю складається своя математика, яка не схожа ні на античну, ні на сучасну європейську математику. Проте це теж математика, оскільки вона вивчає числові співвідношення, ставить і розв'язує математичні завдання, хоч і на інших принципах. Китайська математика пов'язана з китайським космосом так само, як піфагорійська – з античним космосом, а сучасна – з нашою науковою картиною світу.
Сучасний космос є світом об'єктів. Є порожній простір, наповнений предметами, які ми аналізуємо. Античний космос є гармонією тілесних форм. Тіла мають форму, і співвідношення цих форм створює простір. Це співвідношення підпорядковане розумному початку і числовій гармонії. Тому числа визначають світобудову.
Китайський космос – це космос процесів. Все перебуває у становленні й все переходить у все. Фізичні, психічні та духовні процеси взаємопов'язані й нерозривні. У китайській мові для їх позначення використовується слово «ці». Його переводять як «енергія», «процес», «пневма», але насправді воно характеризує процесуальність. «Ці» у всьому ритмічно циркулює, а числові співвідношення показують ритміку і зміну фаз усіх процесів. Тут числа розуміються скоріше як властивості ритмів, а не як властивості множин.
Подібно до того, як розум упорядковує античний космос тілесних форм, дао упорядковує китайський космос процесів. Схематично дао зображується як співвідношення ян та їнь, які переходять одна в одну. Дао перекладається як шлях, але слово дуже багатозначне. Це і шлях, яким слідує все, і принцип, який усе впорядковує. Дао в основі будь-якого руху і всіх змін та водночас принцип рівноваги між будь-якими протилежностями, до якої все природно прагне. Відповідно до цього обґрунтовується китайська математика.
Китайська математика
Математика може виражати не тільки співвідношення між числами, а й співвідношення між групами чисел. Найпростіший поділ на групи чисел – це парне і непарне. Далі китайські математики формулювали математичні закони співвідношення парного і непарного, абстрагуючись від співвідношення конкретних чисел. Згідно з китайськими уявленнями парні числа – це слабкі числа і мають характер їнь. Непарні числа характеризуються як ян. Їнь – це темне, пасивне, водне, жіноче, земне, нижнє, слабке та парне. Ян – це активне, світле, сухе, чоловіче, спекотне, небесне, верхнє, сильне та непарне. Парне та непарне співвідносяться між собою так само, як співвідноситься їнь та ян відповідно до дао.
Інтуїтивно китайці сприймають непарне як чоловіче та співвідносять з ян. Проте цікаве питання, чи зумовлена ця інтуїція китайською культурою, чи вона має загальнолюдський характер? Так чи інакше китайські математики наочно обґрунтовують цю інтуїцію, бо з їхнього погляду, як і з погляду піфагорійців, математичні співвідношення мають бути наочними.
Наприклад ми беремо парне число цегл, і викладаємо з них прямокутну стіну. Цегли лежать строго одна над одною, і така кладка нестійка. Ця нестійкість асоціюється з їнь, тобто пасивним жіночим початком. Якщо ж ми беремо непарне число цегл, то тоді не зможемо викласти правильний прямокутник, оскільки одна цегла буде зайвою. Тому доводиться складати їх іншим способом, так, щоб кожна цегла розташовувалась над двома нижніми, скріплюючи їх. В цьому випадку кладка з непарного числа цегл буде міцною, тому непарне число асоціюється з ян, тобто з міцним, сильним, активним, чоловічим.
Але це також означає, що всі співвідношення між парними та непарними числами, а значить і всі математичні закони між групами чисел, можна перевести в наочну форму, і ця наочність має відповідати уявленню про дао. Тобто дао стає основним принципом не тільки філософії, етики й природничих наук, а й математики теж.
Чим різноманітніші переходи ян в їнь і навпаки, тим повніше виражено дао. Це означає, що якщо перемішати співвідношення парних і непарних чисел так, щоб отримати максимально різноманітні комбінації, вони повніше виражатимуть дао. І тут китайці зробили відкриття: чим різноманітніше і повніше виражається дао в комбінаціях парних і непарних груп чисел, тим красивіше це сприймається. Тобто закони математики відбивають естетичні принципи, тому їх можна застосовувати у мистецтві.
Наприклад, можна використати такий метод. Художник розподіляє всі елементи, які хоче зобразити, на сильні та слабкі. Наприклад, вода це слабкий елемент, земля сильний; виступ сильний елемент, а отвір слабкий; темне – це слабкий елемент, а світле – сильний тощо. Сильні виражають ян і мають переходити в їнь, слабкі – їнь і мають переходити в ян. Отже, кількість сильних елементів, які співвідносяться з ян, має бути парною, тому що парне співвідноситься з їнь. Відповідно, кількість слабких елементів має бути непарною. Завдання художника в тому, щоб співвідношення парних і непарних було протилежним їх силі й слабкості. Однак це найпростіший варіант. Можна перейти до складніших комбінацій, якщо в групі сильних елементів виділити свої підгрупи й розподілити так, щоб способи співвідношення були максимально різними й не повторювалися. Чим різноманітніше комбінації елементів, тим сильніший естетичний ефект.
Ці принципи співвідношення елементів і груп чисел китайці почали застосовувати у плануванні будівель, парків, розташуванні страв на столі, квітів у вазі тощо. Знаменитий режисер Сергій Ейзенштейн писав, що принципи китайської математики інтуїтивно використовують європейські художники для побудови композиції картини. Тобто, хоча ці принципи відкриті й сформульовані саме в китайській культурі, проте вони втілюють естетичну інтуїцію, яка не залежить від культури й має загальнолюдський характер. Сам Сергій Ейзенштейн використав ці принципи у своїх фільмах для побудови композиції кадрів і порядку їх чергування, домагаючись естетичного ефекту. Його фільми дуже незвичайні, їхня художня мова радикально відрізняється від художньої мови сучасної кінематографії, бо ґрунтується на принципах китайської математики.
Як показав Сергій Ейзенштейн, на основі китайської математики сформувалася особлива китайська культура життя, в якій математична точність не така важлива, як для європейців. Ми звикли, що математика – це точна наука, проте якщо китайці звертають більше уваги на співвідношення між групами чисел, а не на значення конкретних чисел, то точність для них набуває другорядного характеру. Таке ігнорування точності можна зустріти в європейській культурі, тільки не в математиці, а в мистецтві, адже для митця важливо передати цілісне враження від пейзажу чи сцени, а не точну кількість елементів.
Якщо піфагорійська математика розкривала гармонію речей, тому там була потрібна точність і наочність, то китайська математика розкриває гармонію процесів, і для цього не так важливо точне знання кількості елементів процесу. Натомість важлива ритміка, що характеризує процес як він є. Як бачимо, математика може формуватися на різних принципах, і завдяки цьому через математику ми можемо зрозуміти різний культурний досвід.
Специфіка сучасної математики
При переході до Нового часу математичні поняття також стали розумітися як абстракції. Числа співвідносяться тільки з тим, що входить до предметної області математики, тобто не з властивостями тілесних форм або процесів, а з властивостями множин. Множина – це вже абстракція від змісту речей, а числа виділяються як абстракції від множин. При цьому можна абстрагуватися і від самих чисел, отримуючи математичні поняття вищого рівня абстракції, які навіть неможливо наочно уявити.
Наприклад, число, що прагне до нуля, тобто таке число, яке менше скільки завгодно малого, яке тільки можливо уявити. Тобто, хоч би яке позитивне число я не задумав, число, що прагне нуля, буде менше його. Піфагорійський математик не прийняв би це серйозно, тому що, на його думку, числа має існувати реально, а значить їх можна наочно уявити. Оскільки сучасна наукова картина світу дозволяє оперувати абстракціями, які не можна наочно уявити, почали виникати нові області математики. На основі теорії границь стало можливим диференціальне обчислення.
Цікаво, що основна теорема математичного аналізу була сформульована Ньютоном і Ляйбніцом приблизно в один час, через що обидва вчені довго сперечалися про авторство. Так вона й увійшла до математики під назвою «формула Ньютона-Ляйбніца». За дві тисячі років розвитку математики її ніхто не міг сформулювати, а тут різні вчені це роблять практично одночасно. Це тому, що спочатку мала змінитися наукова картина світу, а потім уже як тільки в новому розумінні математики стали можливі нові відкриття, їх почали одночасно робити різні люди. Майже одночасно стали виникати альтернативні геометрії Лобачевського, Гауса, Рімана, які відмовилися від інтуїтивної очевидності геометрії Евкліда. І тому потрібно було відмовитися від античного принципу наочності й мислити абстрактно, тобто, абстрактно від конкретного наочного уявлення.
Подібно до того, як ірраціональні числа поставили в глухий кут античну людину, комплексні числа можуть поставити в глухий кут навіть сучасну людину, але не математика, який звик мислити абстрактно. Ми знаємо, що якщо звести до квадрата хоч позитивне число, хоч негативне, то все одно отримаємо позитивне. Однак квадрат комплексного числа дає негативне число. Виходить, що саме комплексне число і не позитивне, і не негативне. Але яке тоді? Як це уявити? Проте воно використовується в математиці у певних обчисленнях. Сучасна математика побудована за таким принципом, що в ній можна вводити абстракції, які неможливо уявити ні візуально, ні умоглядно. Бо вона є абстрактною дисципліною і вимагає такого абстрактного мислення, яке за межами можливості звичайної уяви.
Сучасна математика вже на століття вперед випередила всі практичні потреби науки. Лише окремі області математики мають прикладне значення, і, можливо, багато математичних відкриттів так і не знайдуть практичного застосування. Подальший розвиток математики забезпечується прагненням до безкорисливого пізнання, яке не має практичного значення, зате воно розсуває кордоні абстрактного мислення людини, розкриває можливості її розуму. Адже завдяки такому безкорисливому прагненню пізнання людина є розумною.
Парадокс Рассела
Відкриття парадокса Рассела та інших парадоксів теорії множин стало для математиків XX століття таким же потрясінням, яким було відкриття ірраціонального числа для піфагорійців. Цей парадокс був сприйнятий як суперечність у фундаменті математики, що призвело до її кризи.
У кожній картині світу є свій критерій, що вважати хибним. В античності будь-яка теорія, яка ґрунтувалася на тому, що не можна наочно уявити, сприймалася б як хибна. У сучасній науковій картині будь-яке пояснення вважається хибним, якщо ми знаходимо всередині нього суперечність. На рубежі XIX-XX століть такі суперечності знайшли у теорії множин. Вони називаються парадоксами, і найвідоміший із них – парадокс Рассела.
Теорію множин створив Георг Кантор в XIX столітті, і він відкрив у ній парадокс, який ще здавався критичним. У той час теорія множин опинилася на стику між логікою і математикою, оскільки дозволяла відобразити закони логіки. Якщо закони логіки порушуються, виникає суперечність, що свідчить про помилковості теорії.
Наприклад, закон суперечності говорить, що не можуть бути істинними два несумісних висловлювання про один і той самий предмет в один і той самий час та в одному і тому ж відношенні. Наприклад, не можна сказати, що дощ іде і не йде одночасно. Закон виключеного третього говорить, що з двох висловлювань — «А» або «не А» – одне обов'язково є істинним, тобто два судження, одне з яких є запереченням іншого, не можуть бути одночасно хибними. Або дощ йде, або не йде, третього не дано.
В 1901 видатний логік і філософ Бертран Рассел відкрив парадокс, який тепер названий його ім'ям. Його можна сформулювати у поняттях теорії множин, а можна у такій образній формі: «Нехай у якомусь селі живе цирульник, який голить усіх тих і лише тих жителів села, хто не голиться сам. Чи голить цирульник сам себе?»
Або цирульник голить себе, або не голить. За законом виключеного третього, якщо одне твердження хибне, то інше має бути істинним. При цьому цирульник належить до множини жителів села. Ми поділили цю множину точно на два: тих, хто голить себе, і хто себе не голить, і виявилося, що цирульника неможливо віднести до жодної з них. У теорії множин це виявляється як суперечність.
Рассел сформулював це абстрактно так. Множина «звичайна», якщо вона не включає саму себе як власний елемент. Наприклад, множина всіх людей є «звичайною», оскільки сама множина – не людина. Однак є множина всіх множин, яка включає саму себе як власний елемент. Це – «незвичайна» множина. Питання: множина всіх звичайних множин є звичайною або ні? Якщо вона «звичайна», то містить сама себе як елемент, але тоді вона має бути «незвичайною». Якщо вона «незвичайна», тоді містить сама себе як елемент, але тоді має бути «звичайною». В обох випадках – суперечність.
У сучасній науковій парадигмі суперечність свідчить про хибність теорії. Оскільки теорія множин є фундаментом математики, то парадокс Рассела ставить під сумнів несуперечність математики як науки загалом. Для багатьох математиків це стало страшним потрясінням, подібно до того потрясіння, яке пережили піфагорійці, коли відкрили ірраціональні числа.
Бертран Рассел описав цей парадокс у своїй короткій записці Готлібу Фреге, найбільшому логіку всіх часів. Фреге одержав лист саме в той час, коли завершив роботу над другим томом «Основних законів арифметики». Він був приголомшений і на додаток до останньої книги написав: «Навряд чи зі вченим може статись що-небудь гірше, ніж, коли в нього заберуть підґрунтя саме в той час, коли він завершить свою працю. Саме в такій ситуації опинився я, одержавши лист від Бертрана Рассела, коли моя праця вже була завершена».
Багато математиків були збентежені тим, що у фундаменті їхньої науки така пробоїна. Дізнавшись про цей парадокс, вони залишили свої дослідження і зайнялися розв'язуванням цього парадоксу, подібно до того, як матроси кидають свою роботу, щоб задраїти пробоїну корабля. Якісь розв'язання парадокса було запропоновано, але серед них немає таких, які б задовольнили всіх. Зрештою, до цього парадоксу звикли.
Сучасні вчені змирилися з тим, що у наукової теорії може бути суперечності. Якщо на початку XX століття вважалося неприйнятним, щоб в основі теорії булі якісь суперечності, нині прийшло розуміння, що з цим треба якось далі жити. Свого часу піфагорійцям теж довелося якось жити з розумінням, що числа можуть бути ірраціональними, проте пізніше такі числа стали нормою математики. Те саме сталося і з парадоксами теорії множин.
Це дозволяє нам бачити межі наукового знання загалом. Ми маємо змиритися з тим, що коли висуваємо якісь наукові теорії, то можемо зіткнутися з нерозв'язними суперечностями. На початку XX століття Девід Гільберт спробував вивести арифметику з аксіом, проте Курт Гедель довів, що така теорія не може бути повною. І це так не лише щодо арифметики, а й до будь-якої досить складної формальної системи. Простіше кажучи, неможливо побудувати таку формальну і несуперечливу теорію, в якій можна все логічно обґрунтувати, все одно залишається щось, що неможливо ні підтвердити, ні спростувати.
Перша теорема Геделя стверджує, що, якщо формальна арифметика є несуперечливою, то в ній існує формула, яку неможливо вивести або спростувати. Друга теорема Геделя стверджує, що якщо формальна арифметика є несуперечливою, то в ній неможливо вивести формулу, яка змістовно стверджує несуперечливість цієї арифметики.
Це вже має філософське значення для розуміння можливостей людського пізнання, яке не може бути повним і вільним від суперечностей. Розв'язуючи суто математичні завдання, ми дійшли до філософського висновку у тому, як влаштовані наші пізнавальні здібності.